けいじわん

今日は昴食。会議が終わるのももどかしく職場を出て、月が見えてるっ！とか思いつつ自宅に駆け込んで双眼鏡を持って外に出て月を見たら、今まさに雲に隠れようとしていた。月の観察時間 5 秒。双眼鏡のキャップを外す暇さえなし。(^^;;　余りに悔しいのでその後も空の様子を伺っていたら、再び月が見えてきたじゃないですかっ！　双眼鏡で覗いてみたところ、雨粒群の月面通過が観測に成功。これはこれでちょっと面白い（おい）。などと遊んでるうちに天気が良くなってきたので、自宅駐車場に三脚を立てて 20x80 をセッティング。アルキオネは既に月に隠れてたけど、その後のアトラスとプレイオネの潜入は見たぞ（といっても、ふっと消えるだけだけど）。アルキオネが月から出てきたのに気づいた辺りで、雪が降り始めたので撤収したけど、これだけ見えれば大満足なのだ。次回は 14 年後。

12 月の昴食のときにも思ったけど、7x50 だと月がまぶしいのに星が暗くてつらい。20x80 だと大口径な分だけ星が明るくなるのに小瞳径な分だけ月の明るさが抑えられてて、なかなかよろしい。あとは 8x32 とかの小口径小瞳径でお手軽な機材と、10x70 とかの大口径大瞳径な機材があれば、いろいろ比べられてベストだな。…って、そんなに買わないけど。たぶん。

昴食のついでに火星を眺めてみたら、ずいぶん大きいので驚いた。調べてみたら、1/28 に最接近なんですね。なるほど。

あと今日は、GTi-R のクラッチマスタシリンダを直した。25,412 円也。そしてきっと、来週の車検でも何かが引っかかって出費するに違いない。いや何よりも、ボディのあちこちが錆びてきてて限界は近い。今回がラストの車検になりそうな気がする。

また，まんのうとか綾川とかのあたりにうどんを食いに行きたい！行きたいぞ．うどん屋はですな，レンタカーで小型車をかりてまわるのが一番ですぞ．あー．讃岐のうまいうどんなら，一日１０玉はいける．いや，もっといけるかも．

お、pong か。久しぶりー。しかしそんな、突然年をとったような言い方しなくても良いのでは。(^^;;　家を建てるのって楽しそうだな。俺は５月に学会のシンポジウムで高松に行くので、そのときが家を見に行くチャンスだと思う。

昨日まで、学会のような会議で岡山に行ってた。仙台と違ってえらく暖かかった。さすがは南国。今回は演題も出さなかったけど、最近つながりが増えてきた、同じようなビジョンを持つ人たちといろいろ話ができたのが成果かな。帰りに後楽園に寄ったんだけど、きれいなとこですね。俺が家を建てるときには、あぁいう庭が欲しい。（おい）

年末年始のシステム運用切替や職場の引越しが終わって一段落したので、これからはモードを切り替えて年度末に向けた整理を始めようっと。

大、久しぶり。 ついにこんな年頃になっちまっただよ。 おめーも一緒だったはずだな。 と、研究室で酒を飲みながら打っています。 須田のところの子供も結構大きくなったみたいだよ。 家を建てているので、こっちに来る機会があったら連絡くれや。 ではでは。

そっちの方だったのか．UNIX Magazineの連載で小遣い稼ぎさせてもらった恩のことばかりかと……．

冗談はさておき，本当にクヌス先生については（TeXと「超現実数」以外は）ほとんど知らないのです．せいぜいwikipedia情報どまり．

まったくもう。新婚旅行の記録を私家本で出せたのもドンのおかげでしょうが。
The Art of Computer Programming は分厚い3巻本がずっと前に完結しているのですが，その後ミレニアムを期して始まった新シリーズの刊行が進行中です。著者存命中に最終完成版にたどりつくのかどうか，TeX のバージョンが存命中にπと打たれるかどうかも合わせて，興味のもたれるところです。
名物にうまいものなしの思い込みと同じで，この有名な本は長大さだけでも辟易させられるかも知れませんが，アルゴリズムのテキストとしては，これは非常によい本だと思います。特に教科書を書いたりするには便利。雑学がてんこ盛りだし，内容の確かさはもちろん信頼できる。

えと，下の掲示，取り消し．恥の上塗りの厚化粧じゃあ．(^_^;;;; 投稿してたHariguchiさんにも心当たりがなくて，一生懸命知り合い検索をしてました．(^_^;;;

えーと，クヌスのこと，ドンって言うんですね．初めて知りました．大恩人なのに誕生日も知らないでいました．忘恩の輩に愛の鉄槌を！（それより，なんでみんなそこまで知っているの！？）．高徳納という名前は，どっかの本（TeX book？）に書いてあったような．実際，クヌスの著書って「超現実数」しか読んだことがなくって（TeX bookは，持っているだけで使ったことがない……），それ以外はどんなのがよく読まれているんでしょう．"The art of computer programming" でしたっけ，タイトルは聞くんですけど，中身はぜんぜん知らなくて……．

クヌス？？なんでクヌスのケーキ？？えーと，たぶん私の知らないところでクヌスの話題が出ていたのかな．本当にごめんなさい，この話題撤退します m(_._)m

なんか意味不明なところしか出てこないなあ．そういう名前の知り合いはいないと思うけど．東北大出身の先生がどなたかアメリカにいらっしゃるのかしらん？

高徳納さんです。

大恩人もいいとこだと思うのだが・・・
くだんのページを don で検索してみたら？

ドンという方はドンな方？（いえ，冗談抜きでどなたか知らないので……）．

10日でしたね。

ともかく、めでたいことです。仕事は進んでいるんでしょうか？

そのDon のバースデイケーキだそうです。

プリズムを設置するときにズレるのは傾きではなくて主に長手方向の位置です。
もし第1プリズムの調整ネジを回して修正できる方向に光軸がズレたのだとする
と、それは第2プリズムの位置がズレたせいです。

プリズムが長手方向に平行移動しても像は倒れません。ちなみにミクロン型の
双眼鏡ではプリズムを傾けるのではなく平行移動させて光軸を調整します。

見た目も、ちょっと動かしてみても、プリズムはちゃんと収まってるようなんですよ。でも、いじってない左目側と比べて、右目側は像が右上にずれている。なのでおかしいのは第１プリズムのはず。調節ネジで頑張ろうとするとプリズムを 1mm 近く押さないといけないようなので、基部の接着剤がきれいに削れてるのかなぁ。なお像の倒れはなさそう。プリズムの基部がずれてるとしたら、これはこれで納得がいかない。(^^;;

はやぶさは、なべさんの指摘どおり、本体も大気圏に再突入させるんだそうで。

> 次は地球引力圏にトラップされるかどうか。

地球の引力にトラップさせて周回軌道に入れる事はしない（それだけの減速
能力は無い）で直接突っ込ませる（命中しなければ通過してしまう）んじゃ
ありませんでしたっけ？

> ただし組みなおしたら光軸がズレてたので、調整しないといけない。
> …明日にでも。(^^:;

例の方法で組みなおして光軸がズレている場合はプリズムが一個か二個ズレて
嵌まっているだけなので、押さえ金具をはずしてカタカタ動かして納まりの良い
位置に直してやるだけで治ります。調整ネジはまだいじらない方が吉。

しかし、接着剤がある程度以上削れると、まともに調整するしかなくなります。

地球への帰還が延びたときには「そんなに先かー」と思ったもんですが、その「そんなに先」がもう今年なんですね。とりあえず地球引力圏を通過することはほぼ確定したので、次は地球引力圏にトラップされるかどうか。そして資料カプセルを投下できるかどうか。ですね。そんな「はやぶさ」を待ち焦がれるあなたに！　アオシマから、はやぶさプラモの商品化が決定したとの情報が。しかも発売は６月であります。これは買いだっ！

今日は藤崎の大九州展に行って、「竹工房オンセ」の箸と箸箱を衝動買いしてきた。店頭の見本で試してきたけど、この滑らなさは感動的。あとは、鈴懸のいちご大福と、藤崎オリジナルで出してた穂野香ってお菓子（ほうじ茶寒天と寒天とイチゴと粒餡にほうじ茶のたれ）が旨かった。そして肉巻き焼おにぎりが 30 分待ちとか大行列してて何事かと思ったら、テレビで紹介されたんだとか。イートインのラーメンは、こってり過ぎて合わなかった。

あ、そうそう。ついに双眼鏡のプリズムを外して、プリズム室内壁とコバに墨を塗りまくりました。何もかもが真っ黒になってスッキリ。ただし組みなおしたら光軸がズレてたので、調整しないといけない。…明日にでも。(^^:;

毎日の記事やJAXA のアナウンスによると，はやぶさは地球に戻ることがほぼ確定したようですね。満身創痍の状態でわずか 6 mN の推力を操ってよくまあ。

今後は、月軌道半径を通過する軌道へと移行し、また地球大気への再突入、そして地上でのカプセル回収と一歩一歩進めていく計画です。地球まで約6000万km。イオンエンジンによる航行もあと２ヶ月となりました。

これを書いている人の気持ちを想像するとたまりませんね。

そうか，妹が生まれることになりそうなのですね。それはよかった。
なんだかすごく間のいいタイミングで，だれかブログのこんな絵を教えてもらいました。こんなもんで目がじわじわしてしまうとは，おいおい。

http://www.jiji.com/jc/zc?k=201001/2010010700924 こんなニュースがあったとは気づかないでいた．がんばれ．

国立天文台暦計算室の日食各地予報の「指定地点の予報」で調べるのが良いとは思いますが、それ以前の問題として、なべさんが『見て「うぉっ！欠けてる！」と実感できる』のがどの程度の食分なのかを正確に表現する必要があります。：）

あと、確かに関東付近でも日没寸前にほんのちょっと欠けることにはなってるんですが、東京で食が始まるときの太陽高度が 0.1 度ですよ。なので、太陽が丹沢の影に隠れた後の出来事ではないかと。…いや待て。太陽の視直径が約 0.5 度なので、月に隠される部分は既に地平線の下だな。九州まで行くと、日没前に食分 0.4 くらいまでは見えるようですね。日本って広い。

青島くらいまで行かなきゃ駄目なんでしょうけれど、部分食はどのくらい西に行
けば見えるのかと。

いや、関東付近でも日没寸前にほんのちょっと欠ける事は欠けるみたいですが、
見て「うぉっ！欠けてる！」と実感できる程度に欠けるのはどのへん以西なのか
を正確に知りたいのだ。(^_^;;

ちなみに、今回見逃すと次は2024年だそうです。

金柑はどのくらい西に行けば見られるのかな？

GTi-R のクラッチペダルからフルードが漏れているのに気づいた。これはきっと、クラッチのマスタシリンダが壊れたという例のパターンに違いない。2001/02/16、2004/12/10、2005/01/11 に続いて５年ぶり４度め。

そうだ、昴食があったんですね。すっかり忘れてた。月齢は 10 くらいなので、こないだの満月時の食よりは見やすそうだ。あと 1/15 には金環日食（に向かう日没帯食）ですね。ただし日没前に見えるのは西日本限定。この日食は、今世紀最長の金環日食なんだそうで。

今月25日にはプレアデス食があります。昨年も2回（かな？）ありましたが、
白道がプレアデスから離れていくためこの後10年以上食は起こらないそう
なので、見逃せないところです。

アオシマから、はやぶさのプラモデルの商品化決定の情報が。JAXA ロゴ付きの公認（？）商品になるかどうかは未定ですが、何はともあれプラモデル商品を作ることは決定したらしい。６月頃発売見込み。これは買って作るぞー。

等重量でもダメですっ！(^^;;

asahi.com に「ベテルギウスに爆発の兆候　大きさ急減、表面でこぼこ」なんて記事が。爆発云々以前に、視直径 0.04-0.05 秒角程度の大きさで、表面の模様が分かることがすごい。

等重量交換方式では？

等体積交換方式では、当初の目的が達成されないのだ。素直に廃棄かな。

受け取る方からも同等の体積の雑誌を提供する「交換」方式でないと成り立たせるのが難しいかも．

twitter に書いたけど、すぐに流れちゃうからこっちにも。UNIX Magazine の '91 12 月号から '05 2 月号まで、ほぼ全巻あります。欲しい人いたら手をあげてー！

正月から名前を連呼されているような気がしますが，ちょっと余裕がないので失礼しています。おわびを兼ねて以前に恩師からいただいた年賀状 を紹介しておきます。いい雰囲気なのです。もっとも，私はこの地方で生まれ育ったにもかかわらず，この年始のことばは知りませんでした。
都城地方の年賀

世の中では明けているんだそうで、該当の方々にはおめでとうございます。こちらが明けるまでは、あと一週間ほどかかりそうでございます。そんな我が家にも年賀状は届いたんですが、こちらでは全く分け隔てすることなく完全に平等に、１枚たりとも出してないし返事も書いてません。明けたら考えようと思います。すいません。

落ち着いたらゆっくりやりたいのは、お年玉分布を考えるのと、安い双眼鏡のプリズムを外して、コバや内壁への墨塗りまくり作業。

なお最近は twitter への出現率が高くなってるので、過去のつぶやきを見ると割と様子が分かると思います。

なべさん，そのとおりです．私も同意見です．

もし先見的事前分布が，（素人考えの公平な分布である）上限∞一様分布を仮定すると，実は姉の計算も正しくなるんですよね．パラドックス(?)が起きた原因はそこにあるんじゃないかと．

でも（これまたなべさんと同じ意見ですが），安易に「積分無限大だからダメ」と却下するのではなく，できる限り姉の計算が成り立つ状況を再現したいわけです．一様分布の上限 a_max は有限とした上で，a_max の値をどんどん大きくして極限を見てみるとか，ね．前回，小波さんが問題提起してくれた後で，折に触れてずっと考え続けて（計算し続けて）いたのです．

でも「場合の数的な確率論」と，このベイズ推論的な考え方の間にはギャップがずいぶんあって，学生さんとかにその違いやギャップをうまく説明できるほどまだ自分がよくわかっていない気がするんだなあ．数式を説明できるかどうかじゃなくて，考え方のギャップの部分を．だからこそ発見があるたびにおもしろいんですけどね．

自明だ，初歩的な問題だと見過ごしていたところに，深遠な世界(?)への入り口があることがたくさんあるんだなあと気づかされることが最近多くて，そのたびになんだかうれしくなっています（そうだ，ケイリー・ハミルトンもやっぱり簡単じゃなかった．小波さんの言うとおりだ）．そういううれしい出会いが今年もたくさんあるといいなあって思うのです．毎年書いていますが，今年も飯田龍太の句

去年今年よき詩に酔へる心また

の気持ちです．なんだかとてつもなく長い前置きになりましたけど，みなさんにも「うれしい発見」との出会いがたくさんある年になりますように．

私が積分値が∞な関数に拘るのは以下のような問題について考えたいからです。

おじいさんはいくらでもお金を出せる魔法使いのような人で、おとしだまの金額
には上限がない（上限が∞）均一分布だとすると、金額がある有限な値以下とな
る確率は０（限りなく０に近い）となるはずです。

それでも、封筒を開けばどんなに大きくても具体的な値を持った金額が入ってい
るはずで（入るのか？というのは置いといてドラエモンのポケットのような封筒
だとしましょう）、だとするともう一つの封筒の中の金額がそれよりも小さい確
率は０なのか？という、まさに姉のパラドックスと同じ謎に陥ります。

∞を安易に扱おうとしているためにこういう変な事になってしまうのだと思いま
すが、どう考えるべきなんでしょうか？

> > でも、あくまでも総和は１（係数が lim→０）で金額がある有限な値以下となる確率が →０ と考えては駄目なんでしょうか？
>
> 積分が収束すればいいので，ガウス分布とか指数分布ならOKですね．

いや、積分が収束しなくても有限な金額になる確率が０になるだけで特に問題ないのでは？というつもりで書いたのですが。

こんな変形問題を思いついた．おじいさんが用意してきたお年玉は，なんと100人分！入っている金額はどれもバラバラ．この中からひとつだけ好きなのを選んでいいとする．どれかひとつ（未開封の）封筒を選ぶ．そして中の金額を確かめ，気に入らなければ他の未開封の封筒と「チェンジ」してもかまわない．ただし，すでに開けてしまった封筒にチェンジすることはできない（つまり，いったん「この封筒はダメ」と言ったら，もう後から撤回はできない）．100個の封筒に入ってきる金額はガウス分布でランダムに決めたけれども，平均と分散は未知．このような状況下で，どのように意思決定するのがもっとも合理的か．

「思いついた」と書いたけれど，これはどっかで聞いたことがあるなあ．ともあれ，100人分のお年玉を用意しなければならないほど，甥っ子・姪っ子がいないのは幸いなのだ．

そうだ，100個の封筒が時系列的に（一定の順番で）開封されていき，どこかで「ストップ！」と叫んだときの金額がもらえる，という設定も考えられるなあ．しかも時間とともに封筒の金額が上昇もしくは下降のトレンドがあるという設定．ただし金額は確率的に変動するので，一見するとランダムな金額変化の中からそのトレンドも読み取らないといけないとか，ね．うーん，ますます気象の温暖化の問題とか，経済変動の問題とかに近くなってきた？

なべさん，まさにそういうことです．

> でも、あくまでも総和は１（係数が lim→０）で金額がある有限な値以下と なる確率が →０ と考えては駄目なんでしょうか？

積分が収束すればいいので，ガウス分布とか指数分布ならOKですね．

> ありうる金額の上限を設定するというのはとても現実的ですね。「経験的に ありえない目にはかけない」というのは日常的にあたりまえの事でちょっと つまらない感じもしますが。

もしパラメータ a の分布（すなわち安い方の封筒）が [0,a_max] の一様分布ならば（高い方はその２倍の一様分布），開いた封筒の額が a_max 以下なら交換，a_max 以上ならそのままと，信念を持って決断できます．そこでハイパーパラメータ a_max 自体も確率変数とすると，決断の信念度はシグモイド関数のようになります．すなわちa_maxの分布を世間の相場に基づくガウス分布か何かにするわけです．すると，開いた封筒の金額が世間相場のあたりでは「どっちとも判断つかない」（すなわち推定期待値が1.0倍近辺）になり，「信念を持って断言できない」状態になります．こうしたあたりもきちんと数式化できるので楽しい．ちなみに封筒に入れる金額をガウス分布で決めて，ハイパーパラメータ（平均・分散）をさらに確率的に振った場合は，統計でおなじみのstudent-t分布が出てきます．ハイパーパラメータを振らないとt分布は出てこないのだ．t分布は，想定した確率分布と実際の分布がずれていても，推論結果に狂いが生じにくい頑健な分布なんです．

> 過去の売り上げ分布を棒グラフにする時に、50万〜99万, 100万〜149万, 150万〜199万, …, 5000万〜5049万、みたいに均等な幅に切って棒グラフにすると高額側はところどころにポツポツと１台の棒があるだけになっちゃって変な感じで、50万〜99万, 100万〜199万, …, 3200万〜6399万、みたいに等比で割ると金額が半端でちょっと気持い感じになります。

そうなのだ．一様分布は主観が入っていないような気がするけど，実は気がするだけで，一様分布自体もけっこう主観的だったりする．現象によっては対数スケールか何かの方がよっぽどフィットする．こうした話も実は大事ですよね．

似たような話で、数十万〜数千万円のように価格帯が幅広い製品（計算システムとか）を扱う会社で、どういう価格帯の製品を主力として力を注ぐべきか判断するために過去の売上のデータを分析するなんて事があります。

もちろん価格のわりに性能が良いとか性能のわりに価格が安い物が売れるわけですが、価格なりの品質を一定に保った時にどの価格帯の製品がどのくらい売れるのかを予測するわけです。売り上げ台数の予測値というのは「顧客数×買ってくれる確立の推測値」と言い換えても良いです。

で、過去の売上データなんかを調べると上限／下限つきの適当な分布が得られるわけですが、もし均一分布だったら売り上げに占める割合は高額商品ほど多い事になるし、売り上げが価格に反比例するんだったら価格帯によらず売り上げは均等だし、価格の二乗に反比例するんだったら低価格商品の売り上げが大きいわけです。

現実には税込み９０万円台後半に鋭くて大きなピークがあったり（予算の枠とか事務処理とかがね…）、数百万のところにブロードなピークがあったり（大きめな科研費とかがあたった人？）するわけですが、全般的な傾向は二乗に反比例に近くて低価格機を大量に生産／流通させる大手に対向するのはしんどいという感じかな。

過去の売り上げ分布を棒グラフにする時に、50万〜99万, 100万〜149万, 150万〜199万, …, 5000万〜5049万、みたいに均等な幅に切って棒グラフにすると高額側はところどころにポツポツと１台の棒があるだけになっちゃって変な感じで、50万〜99万, 100万〜199万, …, 3200万〜6399万、みたいに等比で割ると金額が半端でちょっと気持い感じになります。これをどうするかによって見た人の印象や判断が変わっちゃうんだよね。

> でも「確率分布が金額に反比例」だと，確率の総和が発散してしまう
> （総和が１にならない）ので，分布として失格です．

log ∞ が ∞ になるから確率の総和が ∞ になちゃうという事ですね。
均一分布の場合も範囲を制限しないと破綻します。

でも、あくまでも総和は１（係数が lim→０）で金額がある有限な値以下と
なる確率が →０ と考えては駄目なんでしょうか？そう考えてもあまり意味
のある計算はできなくて、確実に天文学的すぎる金額を貰えるという変な話
になっちゃいますが。

それと、最低金額が１円じゃなくて０だったら log ０ の方も -∞ になっ
ちゃいますね。

> ちなみに「金額の二乗に反比例」ならOKです．なんとこの場合は，平
> 均が発散するというおもしろい分布です．一番太っ腹なケースですね．

これも最低金額が０円だったら０円の確率が１になっちゃいますよね。

> 上限 a_max のある一様分布の場合が，いちばんわかりやすい
> （感覚的にも合う）結果が得られます．

ありうる金額の上限を設定するというのはとても現実的ですね。「経験的に
ありえない目にはかけない」というのは日常的にあたりまえの事でちょっと
つまらない感じもしますが。

お年玉関数が「金額に反比例（上限／下限つき）」なら、範囲内だったら期
待値は同じだけれど悩む範囲は制限できますね。

反比例というのは現実的な分布では無い（基本的にはケチだけどアブク銭を
持ってるときだけ沢山くれるとかだとありうるかな？）し、上限や下限が近
い時にはスカを引く可能性が高いのでガウス分布のように両端が低くなるよ
うな関数が良さそうな気もします。

関数の形を問わず、下限も設定した場合に下限が上限の半分以上だとどんな
金額もありえない事になっちゃいますが、それは今年は例年の例を覆してい
るので過去のデータは参考にならないという事ですね。

なべさん，
＞お年玉の金額に関する統計情報を利用して世間の相場から推論する

現実的には，過去におじいさんからもらったお年玉のデータを利用するとか，世間の相場を利用するとか，そういうことになるんでしょうね．でもそれって数学の問題としてはどうよ，という疑問が起きてくる．数学の問題に世間の相場を使っていいわけ？と．

パラメータの先見的事前分布 P(a) を何かひとつに決め撃ちしてしまうのが問題なら，事前分布もいろいろ変えて検討すればいい．事前分布 P(a) を決めるメタなパラメータ a_max をハイパーパラメータと言うのだけど，ハイパーパラメータ自体も確率変数にしてしまうというわけ．そうして，ハイパーパラメータの条件付き確率問題に帰着して期待値を求める．なんだか問題の先送りをしてるだけみたいだけど，こうすれば不自然な先見的事前分布（1円から∞円までの一様分布みたいな変な分布）を考えなくてすむし，決め撃ちの影響が薄まる．さらにいえば，ハイパーパラメータを振ってやって（微分して），推論結果に及ぼす敏感さみたいなのを評価するなんてこともできる．

地球温暖化問題みたいに，一回こっきりしか観測できない（しかし不確定性や未知パラメータを多く含む）問題を扱うときにこうした枠組みが重要なんだろうと思う．こうしたあたりを勉強している最中で，なんだかまだすっきりは理解していないんですけどね．ここに書いたことの中にも間違っているところもあるかもしれない．

> 確率が金額に反比例するんだったら（中略）交換後の期待値は1000円で、交換しても変わりません。

ええ，そうです．そのあたりは私も計算してみました．でも「確率分布が金額に反比例」だと，確率の総和が発散してしまう（総和が１にならない）ので，分布として失格です．ちなみに「金額の二乗に反比例」ならOKです．なんとこの場合は，平均が発散するというおもしろい分布です．一番太っ腹なケースですね．

上限 a_max のある一様分布の場合が，いちばんわかりやすい（感覚的にも合う）結果が得られます．すなわち，封筒Ａの金額が a_max を下回っていたら（封筒Ｂが2aの確率が高いので）交換し，a_max を上回っていたら（Ａが2a の封筒に間違いないので）交換しない，というわけです．なお金額は連続値として扱う（１円未満は四捨五入する）必要があります．

古川さんが「お年玉金額確率分布の問題だ」的な書き込みをしていましたね。

問題１は結局のところお年玉金額（＝3a）の確率分布をどう考えるかという問題
に帰着しますよね。

1500円である確率も3000円である確率も等しければ弟の推論で正しいという事に
なります。

さらに、1円〜∞円まで1円刻みであらゆる金額の確率が等しい場合について考え
ると、ちょっと変な事になってしまいますね。たかだか有限な金額のお年玉など
馬鹿らしくなってしまう。

確率が金額に反比例するんだったら 3a=1500 である確率は 3a=3000 である確率
の2倍ですから交換後の期待値は1000円で、交換しても変わりません。

まぁ、お年玉の金額に関する統計情報を利用して世間の相場から推論するという
あたりが良いのかなぁ。

なべさん，そうです．a は未知なのです．

古典的な確率の考え方「何度も試行して頻度を計算する」というやり方でいくと，問題２の場合，封筒Ａはいつも1000円だし，封筒Ｂは500円と2000円がそれぞれ1/2と1/2の確率で起きる．この点では（問題２の場合）弟氏の計算は正しい．

ところが問題１の場合，封筒Ａは a 円が 1/2 ，2a 円が 1/2 の率で出てくる．もしa=500円ならば 500円が 1/2, 1000円が 1/2 の頻度で起きる．また，もし a=1000 ならば，1000円が 1/2，2000円が 1/2 の頻度で起きる．封筒Ｂについても同じ（ただしＡとＢは独立ではない）．どっちの分布になるかはわからないけれど，でも500円と2000円が1/2の頻度で起きることは，絶対にない．だから弟氏の計算は正しくないことになる．

要は，分布を決めるパラメータ a が未知だから，分布を最後まで決めることができない．「じゃあ，未知のままでいいじゃないか」というのがつださんの意見．だけど，それだとどちらの封筒にすべきかという意思決定ができない．

現実には「いくらおじいさんだって，お年玉が500円なんてことはないだろう」なんて判断をするわけだけど，このことは（主観的に推論した確率を）五分五分とみなしていないことになる．まさにこのようなプロセスがベイズ推論で取り扱える．ベイズ推論の枠組みだと，パラメータ a も確率変数とみなし，おじいさんがお年玉に入れそうな金額の事前分布 P(a) を導入する．たとえば，平均2000円のガウス分布とか，上限5000円の一様分布だとかを導入する．そうすると，封筒Ｂの事後分布は500円，2000円がそれぞれ1/2ではなくなる（おじいさんがケチと思えば500円の確率が上がり，太っ腹と思えば2000円の確率が上がる）．ただし先見的事前分布は，もはや頻度として計算することはできない，主観的な確率になる．

このように考えると，実は「キモチ悪い議論」は一切排除してきれいに答えが求まる．こうした考え方は「場合の数」で計算する確率計算からはもはや出てこない．そんなわけで「（古典的な）場合の数で確率計算する人たちに対して，じゃあどう説明するとクリアかつおもしろく理解してもらえるのかなあ」ってことをずっと考えていたわけなのだ．

もっとも「きれいに求まる」代わりに「先見的（主観的）事前確率」という，別の意味でキモチ悪い（キモチ悪く感じられる）ものが入ってくるので，じゃあ「先見的事前分布をいろんな分布に振ってみた場合，意思決定がどんな風に影響を受けるか」をいろいろ計算してみる．たとえば上限を a_max とする一様分布にして，a_maxを振ってみるとか，ガウス分布と仮定して平均・分散を振ってみるとか．こういうプロセス自体が，現代のいろんな推論問題の理解につながるんじゃないかなあと思うのだけれども，まだなんか自分でもすっきり説明しきれないわけなんですね．そのあたりが，私はとてもおもしろい．いろんなおもしろい話を引き出せそうな気がして，まだ引き出しきれていない自分がもどかしくもある．

というわけで，みなさんのお知恵を拝借して，いろんなことが学べる楽しい教材にできないものかなあと思うわけです．

a の値は 500 か 1000 のどちらかである事は公開されているけれど、どっちな
のかは秘密、という設定なんだと思っていました。a が不明なままでは説明し
にくいので 500 と 1000 を実例にした説明を書いていたんですね。

で、実際はケチだから 1000 である可能性は低いとか何とかいう事は考えずに
確率が 1/2 としたところが推定なのかと思ったのだ。

あけましておめでとうございます．今年もよろしくお願いします．

お年玉の問題，言いだしっぺなのできちんと書きましょう．それから姉のケースは，弟のケースが解決してからにしましょう．

（問題１）「封筒が２つある．一方には a 円，他方には 2a 円入っているが，外からは見分けがつかない．また a の値もわからない．今，たまたま一方の封筒を開けたら1000円入っていた（これを封筒Ａとする）．もう一方の封筒（封筒Ｂ）の中身はわからない．この状態で封筒Ａ，Ｂのどちらか一方を選ばなければならない．より多くの金額を手に入れるには，どちらの封筒を選ぶと良いか」

この問題に対し，弟氏はこう考えた．「封筒Ｂの中身は，500円か2000円かどちらかであり，しかもそれぞれの確率は1/2ずつである．したがって封筒Ｂの期待値は1250円である．よって交換した方が得である」．

しかし，弟氏の論法であれば，封筒Ａの中身が何円であったとしても交換した方が得ということになる（となると，見る前から交換してもかまわないことになる）．果たしてそれでよいのか，というのだろうか．

これと良く似た（しかし異なる問題として）次のような問題がある．

（問題２）「封筒が２つある．封筒Ａには1000円入っている．封筒Ｂには1/2の確率で2000円，1/2の確率で500円が入っている．封筒Ａ・Ｂのどちらか一方を選ばなければならない．より多くの金額を手に入れるには，どちらの封筒を選ぶと良いか」

問題２の場合，封筒Ｂの確率分布が明示的に与えられており，この場合は弟氏の計算で正しい．問題１と問題２の場合で異なるのは，問題２の場合，封筒Ｂの中身が500円，2000円である確率をそれぞれ1/2とわかっているのに対し，問題１では推論したという点が異なっている．

110円を百円と十円に分けたか、10,100円を1万円と百円に分けたかのどちらか
だったなら、開いて100円が入っていたら迷わずに変えてもらうと思うんです
よね。

> 取り替えようが取り替えまいが期待値は1125円。

なので期待値より低い1000円を引いちゃったら取り替えた方が得（再抽選？
での期待値は1250円）なわけですよね。

>「弟の考えたことは，1000円という金額には無関係だ。袋の中の金額をx円
> としよう。取り替えたときの金額は，0.5x円か2x円かのどちらかで，
> その可能性は五分五分のはずだ。だから期待値は1.25x円となり，取り替え
> た方が得だ。」

これが明らかな間違いとしか思えないのです。ちゃんと全ての場合を数え上げ
てないないっうか、4.0x や 0.25x の場合もありますよね。

袋の中が500円だったら取り替えた方が確実に得だし2000円なら取り替えない
方が確実に得で、「取り替えれば期待値は1.25倍」というのは中身が1000円
だった場合だけの事なので、1000円って金額に大いに関係あります。

中身を見ずに取り替えた場合、金額の変化パターンと各々の確率は以下の通り
ですよね。取り替えようが取り替えまいが期待値は1125円。

　　500円→1000円：1/6
　　500円→2000円：1/12
　　1000円→500円：1/4
　　1000円→2000円：1/4
　　2000円→500円：1/12
　　2000円→1000円：1/6